Орфографически правильно: Каймановы Острова. В соответствии с Общероссийским классификатором стран мира название страны – Острова Кайман.
Верно: предусмотрено несколько практичных карманов.
Нет.
Корень сарай.
Вместо "тех времен" лучше "в то время", "тогда".